Giáo án Toán 11 Cánh Diều theo công văn 5512

Trên mặt chiếc đồng hồ, kim giây đang ở vị trí ban đầu chỉ vào số 3 (Hình 1). Kim giây quay ba vòng và một phần tư 1 vòng (tức là  vòng) đến vị trí cuối chỉ vào số 6. Khi quay như thế, kim giây đã quét một góc với tia đầu chỉ vào số 3, tia cuối chỉ vào số 6.

– GV nêu câu hỏi: Góc đó gợi nên khái niệm gì trong toán học? Những góc như thế có tính chất gì?

– HS tìm câu trả lời, tuy nhiên sẽ khó để giải quyết  câu hỏi .

– Mong đợi: Kích thích sự tò mò của HS :

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Nhiệm vụ 1: Nhắc lại khái niệm góc hình học và số đo của chúng.

– GV cho HS thực hiện đọc – hiểu HĐ1.

+ GV có thể lấy thêm ví dụ về góc và số đo của một góc (hình học) cho HS quan sát.

– GV giới thiệu về đơn vị đo radian cho HS.

– GV đặt các câu hỏi gợi mở về mối quan hệ giữa độ và radian, từ đó thiết lập công thức chuyển đổi giữa chúng.

+ Độ dài của nửa đường tròn lượng giác bằng bao nhiêu?

+ Nửa đường tròn có số đo bằng bao nhiêu (số đo góc và rađian)?

+ Rút ra công thức đổi đơn vị đo từ rađian sang độ và ngược lại?

– Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV chuẩn hóa lời giải để hình thành kiến thức.

– GV nhắc nhở HS về chú ý.

– GV hướng dẫn cho HS làm phần Ví dụ 1.

+ GV cho HS viết lại công thức đổi đơn vị đo từ độ sang radian và từ radian sang độ.

+ GV có thể làm ví dụ một phần cho HS quan sát:

Đổi từ  sang số đo radian:

+ HS tự làm bài vào vở ghi.

– GV cho HS thảo luận nhóm đôi hoàn thành Luyện tập 1.

+ GV quan sát và kiểm tra ngẫu nhiên một số HS làm bài.

+ GV mời một số HS đứng tại chỗ nêu đáp án.

Nhiệm vụ 2: Tìm hiểu góc lượng giác và số đo của chúng.

– GV cho HS quan sát hình 3, đọc và làm phần HĐ2

+ GV gọi 1 HS đứng tại chỗ trả lời nhanh phần a và b.

GV giới thiệu thế nào là chiều âm, chiều dương khi quay tia Om.

– GV viết bảng hoặc trình chiếu phần khung kiến thức trọng tâm cho HS quan sát và ghi bài.

– GV cho HS quan sát Ví dụ 2 và giảng chi tiết cách làm cho HS.

+ HS quan sát và ghi chép bài cần thận.

– GV cho HS vận dụng kiến thức và tự làm Luyện tập 2.

+ GV mời 2 HS đứng tại chỗ trình bày câu trả lời.

+ HS vẽ hình và trình bày vào vở.

– GV triển khai phần HĐ3 cho HS quan sát và thực hiện.

+ GV lưu ý cho HS: Điều quan trọng khi tìm số đo của một góc lượng giác được quay bởi một tia Om, ta cần xác định được chiều mà tia Om quay là chiều âm hay chiều dương.

+ GV hướng dẫn: Nếu tia quay được đúng 1 vòng theo chiều dương thì ta nói tia đó quay góc 360º, hai vòng thì ta nói nó quay góc 720º và ngược lại.

+ GV cho HS suy nghĩ làm bài và mời 3 HS trình bày đáp án.

+ GV nhận xét và chốt đáp án cho HS.

– GV đặt câu hỏi cho HS: Mọi góc lượng giác đều có số đo. Điều này là đúng hay sai?

GV ghi bảng và giảng phần Nhận xét cho HS.

– GV mời 1 HS đọc phần kết luận trong khung kiến thức trọng tâm.

– GV cho HS làm Ví dụ 3 và nêu lại cách biểu diễn hình.

– HS làm phần Luyện tập 3.

+ GV mời 1 HS đứng tại chỗ nêu hướng làm và 1 HS lên bảng làm bài.

+ GV đi quan sát HS làm bài, trợ giúp nếu HS cần.

– HV triển khai HĐ4 để HS hình thành được kiến thức về sự khác biệt giữa số đo của hai góc lượng giác.

+ HS đọc và suy nghĩ phần HĐ4.

+ GV mời 1 HS nêu ý kiến về câu hỏi trong HĐ.

+ GV nhận xét và giảng cho HS hiểu được sự khác biệt của số đo hai góc đó là bội nguyên của  khi tính theo đơn vị độ, là bội nguyên của  khi tính theo đơn vị radian thông qua phần Nhận xét trong SGK.

– GV ghi bảng hoặc trình chiếu Định lí trong khung kiến thức trọng tâm cho HS.

– GV cho HS thực hiện Ví dụ 4, và hướng dẫn HS:

+ Áp dụng định lí, ta được:

 là số đo góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc lượng giác có số đo .

– HS thảo luận nhóm đôi để thực hiện phần Luyện tập 4.

+ HS chỉ định 2 HS lên bảng trình bày bài giải.

– GV cho HS đọc phần HĐ5 và quan sát hình 8.

+ GV chỉ định 1 HS đứng tại chỗ trả lời nhanh phần HĐ5.

– GV nhận xét câu trả lời, từ đó giới thiệu về hệ thức Chasles (Sa -lơ) cho HS.

– GV đặt câu hỏi hướng dẫn cho HS thực hiện Ví dụ 5:

+ Từ hệ thức Chasles ta có thể suy ra được số đo lượng giác của từng góc lượng giác (Ou, Ov); (Ov, Ow), (Ou, Ow) hay không?

– GV mời 1 HS lên bảng trình bày bài giải phần Luyện tập 5.

+ Các HS còn lại làm bài vào vở và đối chiếu đáp án với bài trên bảng và cho nhận xét.

+ GV chốt đáp án.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

– HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

– GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

– HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

– Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm:

+ Đơn vị radian; Khái niệm góc lượng giác và số đo của chúng.

+ Tính chất của góc lượng giác.

+ Hệ thức Chasles.

HĐ1

Góc (còn được gọi là góc hình học) là hình gồm hai tia chung gốc. Mỗi góc có một số đo, đơn vị đo góc (hình học) là độ. Số đo của một góc (hình học) không vượt quá 180°. Chẳng hạn: Góc xOy gồm hai tia Ox và Oy chung gốc O có số đo là 60° (hình vẽ).

– Nếu trên đường tròn, ta lấy một cung tròn có độ dài bằng bán kính thì góc ở tâm chắn cung đó gọi là góc có số đo 1 radian (hình 2).

– 1 radian còn được viết tắt là 1 rad.

– Độ dài nửa đường tròn: .

– Số đo góc nửa đường tròn:

180º bằng  rad  rad.

– 1 rad = và .

Nhận xét:

Ta biết góc ở tâm có số đo  sẽ chắn cung bằng nửa đường tròn (có độ dài bằng ) nên số đo góc  bằng

Do đó, 1 rad =  và

Chú ý

– Người ta thường không viết chữ radian hay rad sau số đo của góc. Chẳng hạn,  cũng được viết là .

Ví dụ 1: (SGK – tr.6).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.6).

Luyện tập 1

Ta có:

; ;

;

2. Góc lượng giác và số đo của chúng.

a) Khái niệm

HĐ2

a) Chiều quay của kim đồng hồ ngược chiều với chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong Hình 3a.

b) Chiều quay của kim đồng hồ cùng chiều với chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b.

– Để khảo sát việc quay tia Om quanh điểm 0 trong mặt phẳng, ta cần chọn một chiều quay gọi là chiều dương. Thông thường, ta chọn chiều dương là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều cùng chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều âm.

Kết luận

Cho hai tia Ou, Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác với tia đầu Ou và tia cuối Ov, kí hiệu là (Ou, Ov).

Ví dụ 2: (SGK – tr.7).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.7).

Luyện tập 2

Trong Hình 4b, góc lượng giác là (Oz, Ot) với tia đầu Oz và tia cuối Ot.

HĐ3

a)

Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng thì tia đó quét nên một góc 360°.

b)

Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng (tức là   vòng) thì tia đó quét nên một góc là .

c)

Trong Hình 5c, tia Om quay theo chiều âm đúng một vòng thì tia đó quét nên một góc là ‒360°.

Nhận xét

Khi tia Om quay góc  thì góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo  (hay ). Vì thế, mỗi một góc lượng giác đều có một số đo, đơn vị đo góc lượng giác là độ hoặc radian. Nếu góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo bằng  thì ta kí hiệu là sđ(Ou, Ov) =  hoặc (Ou, Ov) = .

Kết luận

Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của góc đó.

Ví dụ 3: (SGK – tr.8).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.8).

Luyện tập 3

Ta có:

Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo  được biểu diễn ở hình vẽ dưới đây:

b) Tính chất

HĐ4

Hình 7

– Hình 7b:

Ta thấy chiều quay của tia Ou đến Ov là chiều dương, mà  nên số đo của góc lượng giác (Ou, Ov) .

– Hình 7c:

Ta thấy tia Ou quay một vòng từ Ou đến Ou, rồi quay tiếp từ Ou đến Ov theo chiều dương. Vậy số đo của góc lượng giác:

– Hình 7d:

Ta thấy chiều quay của tia Ou đến Ov là chiều âm và số đo góc lượng giác

Nhận xét:

Sự khác biệt giữa các góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối chính là số vòng quay quanh điểm O. Vì vậy, sự khác biệt giữa số đo của các góc lượng giác đó chính là bội nguyên của 360° khi các góc đó tính theo đơn vị độ (hay bội nguyên của  rad khi các góc đó tính theo đơn vị radian).

Định lí

Nếu một góc lượng giác có số đo  (hay  radian) thì mọi góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác đó có số đo dạng:  (hay ), với k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k.

Ví dụ 4: (SGK – tr.9).

Hướng dẫn giải SGK – tr.9.

Luyện tập 4

Gọi  là số đo góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc lượng giác có số đo .

Ta có: .

HĐ5.

Do tia Oy nằm trong góc xOz nên:

Hệ thức Chasles:

Với ba tia tùy ý  ta có:

,

.

Ví dụ 5: (SGK – 9).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.9).

Luyện tập 5

Theo hệ thức Chasles, ta có: